天体望遠鏡は口径が大きい方が分解能が高いのに，どうしてカメラのレンズは絞った方が解像が良くなるの？…光の回折とドーズの限界，画素ピッチの話

今でこそ写真を撮るのが好きでカメラをよく持ち歩いていますが，僕が最初に手にした光学製品は，実はカメラではなく天体望遠鏡だったんです。中学生の頃，口径60 mmの屈折望遠鏡を使って，月や惑星や星雲・星団を観察していたっけ。楽しかったなあ。

星の写真を撮るのは今も好きですが，昔から天文少年だったんですよ (^ ^)。ちなみに当時使っていた望遠鏡の架台は赤道儀ではなく，より安価な経緯台（望遠鏡の視野を上下・左右に振ることができるもの）でした。

今回は，そんな元・天文少年から見た，レンズの解像度の話です。

でっかい望遠鏡ほどよく見える…カメラは？
- どうして口径の大きい望遠鏡ほど解像するの？
- もし回折がなかったら？
回折ってどういうことか，あらためて
- 「素元波」という考え方
- 実験してみましょう
  - 実験・その1
  - 実験・その2
天体望遠鏡の分解能はどうやって決まるのか ––– ドーズの限界とレイリーの限界
- ドーズの限界
- レイリーの限界
カメラレンズの場合
再び天体望遠鏡の話
まとめ

でっかい望遠鏡ほどよく見える…カメラは？

望遠鏡というと倍率を気にする人がいるかもしれません。けれども天体望遠鏡で重要なのは倍率ではなくて対物レンズの口径なのです。それは口径の大きな望遠鏡ほどより細かいところまで分離して見ることができ，また多くの光を集めることができるので暗い天体まで見ることができるからです。まあ要するに，デカくてゴツい望遠鏡ほどよく見えるというわけですね。わかりやすいっちゃあわかりやすい。^*1

*1 ハワイのマウナ・ケア山頂にある国立天文台の「すばる望遠鏡」は，主鏡の直径が 8.2 m です。

subarutelescope.org

実際，天体望遠鏡のカタログには，対物レンズの口径（反射型望遠鏡の場合は主鏡の口径）と集光力（肉眼に対して何倍の光を集めることができるか）および分解能（どれだけ細かいところまで解像して見ることができるか）が書かれています。

さてさて。その後カメラを使うようになって，不思議に思ったことが1つあります。それは「絞った方が解像度が良くなる」ということです。よく「F5.6からF8程度に絞ると解像度がもっともよくなる」とか言われていますよね（絞りすぎると逆に解像感が失われますが）。…え？レンズの口径が大きいほど…つまり絞りを開放にした時の方が解像が良くなるんじゃないの？…っていうか，F5.6とかF8とかいう数字はどこから出てきたの？

この記事では，この一見矛盾する話について考えてみたいと思います。この辺りの話を理解すると，カメラレンズの解像度について理解が深まりますし，いわゆる「回折ボケ」または「小絞りボケ」についても理解できると思います。

どうして口径の大きい望遠鏡ほど解像するの？

はじめに，天体望遠鏡で「口径が大きいほど解像度（分解能）が高くなる理由」について考えてみたいと思います。

「口径が大きいほど解像度が高くなる理由」…それは，口径が大きいほど，レンズの縁で回折される光の割合が，レンズが集光する光に対して小さくなるからです。

例えば，対物レンズの口径が2倍になったとしましょう。レンズの面積は，レンズ半径を $r$ とすると $\pi r^2$ ，レンズの縁の長さ（つまり円周）は $2\pi r$ ですから，この時集光される光の量は4倍，レンズの縁で回折を受ける光は2倍になります。このようにレンズの口径が大きいほど，集光される光の割合が大きくなっていくのです。

もし回折がなかったら？

そもそもレンズによる集光だけを考えた時（つまり回折を考えなければ），レンズの整形が完璧であると仮定すれば，大きなレンズでも小さなレンズでも分解能（解像度）は変わらないはずなんですよ。これは下の図1を見ると理解できると思います。どちらでもちゃんと（同じように）焦点を結び，解像します。

回折を考えない場合 — 図1 レンズの縁での回折を考慮しなければ，レンズの大きさに関わらず集光された光は像を結びます

で，問題になるのは「レンズの縁における光の回折です。回折とは「波が障害物の背後に回り込むこと」です。光は粒子であるとともに波の性質を合わせ持っていますから，回折現象を起こします。

回折ってどういうことか，あらためて

「素元波」という考え方

ここで波について考えてみましょう。最も基本的な波は，一点から同心円状に広がる波です。そして海の波や直進する光（平面波）は，小さな同心円状の波が合成されたものと考えることができます。ここで考える同心円状の波を「素元波」と言います。そしてこうしてできた波面上に，また素元波が発生して新しい波面が生まれていくと考えるのです（図2）。この考え方を「ホイヘンスの原理」と言います。

この考え方を採用すると，波の性質を捉えやすくなります。例えば直進してきた波が小さな隙間のある障害物に当たったとしましょう。波が障害物に当たった時，隙間のところに素元波が発生します。これが同心円状に広がっていくので，波が障害物の背後にも回り込むことになります（図3）。回折は，このように説明することができるのです。

スリットの回折 — 図3 波が障害物に当たっても，隙間から素元波が広がって，波は障害物の背後に回り込む

実験してみましょう

実験・その1

それではここで実験です。

こんなものを用意しました。ボール紙に丸い穴を開け，アルミホイルを貼りつけたものです。このアルミホイルにカッターナイフで切れ目を入れました。

これにレーザーポインタで光を当て，”切れ目”（スリット）を通り抜けた光が壁に当たったところを写真に撮ってみました。

この写真には，スリットを通り抜けたレーザービームに加えて，光が横に（つまりスリットに対して垂直に）広がっているのがはっきりと写っています。光の直進だけを考えると，アルミホイルの後ろには光が進まないはずです。つまりこの「光の広がり」を説明するには，回折を考える必要があるのです。

実験・その2

次に，ボール紙に開けた穴を，半分ふさいだものを用意します。半分は素通しです。

この縁に，再びレーザーポインタを使って光を当ててみます。これはレンズの縁を通る光の挙動をモデル化したものです。実際やってみると…。

この場合にも，回折によって，光の帯が穴の縁よりも外側（左側）に伸びているのがわかると思います。レンズの縁で回折が起こることがよくわかりますね。

この様子を，素元波の考え方を用いて作図すると図4のようになります。光が開口部（レンズ）の縁に当たるとその場所に素元波が生じ，これが同心円状に広がっていくわけです。

またこの図からわかるように，回折された光は開口部（レンズ）の外側（実験の写真では左側，図4では上側）だけでなく，開口部の内側（実験の写真では右側，図4では下側）にも広がります。つまり回折光は集光された光に重なって像を乱し，分解能を低下させることになります（実験では右側にも回折による光の帯が伸びているはずですが，開口部の内側が明るいために見えていません）。

天体望遠鏡の分解能はどうやって決まるのか ––– ドーズの限界とレイリーの限界

ここまでで，回折された光が分解能を低下させる原因になることがわかりました。これは望遠鏡（対物レンズ）の口径が小さい場合に特に問題となります。それではレンズの口径と分解能との間には，どのような関係があるのでしょうか。定量的に考えてみましょう。

ドーズの限界

一般に，天体望遠鏡の解像度（分解能）を決定する際には「ドーズの限界」という式が用いられます。望遠鏡の分解能 $\theta$ は以下の式 (1) で与えられるというものです。

　 $\theta = \dfrac{115.8}{D} \,\,\,\, \cdots \left( 1 \right)$

ここで $\theta$ は解像する角度で単位は秒（1秒は1°の3600分の1）， $D$ は対物レンズの口径で単位は mm です。

例えば僕が中学生の頃に使っていた口径60 mmの望遠鏡なら，その分解能 $\theta$ は

　 $\theta = \dfrac {115.8}{60} = 1.93 "$

これは1 km先にある，9.4 mm離れた2つの点を見分けられる分解能です（ $1000\times \sin \dfrac {1.93}{3600} = 9.4 \times 10^{-3}$ ）。こんな小型の望遠鏡でも結構すごいね。

また国立天文台のすばる望遠鏡（口径8.2 m = 8200 mm）なら

　 $\theta = \dfrac {115.8}{8200} = 0.014 "$

です。1 km先にある，0.07 mm離れた2つの点を見分けられるということです…すごすぎ。

…ただしこれは，レンズ（または反射鏡）が理想的に成型されていることが前提になっています。

レイリーの限界

もう一つ「レイリーの限界」という式も知られています（このセクションはややこしいので面倒な人は読み飛ばしてください。大筋に影響はありません）。これは「ドーズの限界」にある程度理論的な裏づけを与えるもので，以下のように定義されます。

「波長 $\lambda$ （mm 単位）の光に対して，分解能 $\theta$ は

　 $\theta = \dfrac {251575 \cdot \lambda}{D} \,\,\,\, \cdots (2)$

で与えられる（角度 $\theta$ の単位は秒）」

この式 (2) がどのように導かれたのかを簡単に説明しましょう。

口径がDであるレンズを光が通過した時，レンズの両縁によって回折された光は，先の「実験2」で見たように素元波として広がります。2つの素元波が重なり合った時，波の山と山または谷と谷が重なるところでは光が強めあって明るくなります。一方，波の山と谷が重なったところでは波が打ち消しあうので光が弱くなります（光の干渉，図5）。

レンズの縁で回折された光 — 図5 レンズの縁で回折を受けた光は干渉によって光の強弱を生じる

その結果，対象が星のような点光源であっても，レンズで集光された光の周りに同心円状の光の輪ができることになります（エアリーディスク，図6）。

この時，レンズによって集光された光のピークから最初の暗い輪までの間隔は，先ほど出てきた式(2) と同じく $\theta = \dfrac {251575 \cdot \lambda}{D}$ となるのです。

ここである星の像の暗いリングの位置に，別の星の像があるケースを考えます。

すると星像は図7のようになって，「多分2つの星はギリギリ分離して見えるだろうなあ」と推定することができます。そこでこのような間隔（つまり2つの星が $\dfrac {251575 \cdot \lambda}{D}$ 離れている間隔）を，2つの星の像が分離できる限界としたというわけです。

ここで光の波長 $\lambda$ に対して，人間の目に最も感度が高い 507 nm （グリーンの光）を考えると，式(2)は

　 $\theta = \dfrac {251575 \times 507 \times 10^{-6}}{D} = \dfrac {127.5}{D}$

となり，ドーズの限界に近い値を与えます。また式(2)に青い光の波長，460 nmを入れると，

　 $\theta = \dfrac {251575 \times 460 \times 10^{-6}}{D}=\dfrac {115.7}{D}$

となり，ドーズの限界と一致します。

そこでこれ以降はドーズの式を用いて話を進めることにします。

カメラレンズの場合

カメラのレンズにおけるドーズの限界と画素ピッチ

カメラのレンズにおいても，もちろんドーズの限界は適用できます。つまりレンズの成型が完璧であれば，レンズの有効口径が大きいほど解像度は良くなることが期待されるのです。

ただし，カメラの場合はもう一つ考えるべき要素があります。それはセンサーの画素ピッチです。デジタル写真は画素の集合体ですから，レンズの分解能が画素1つの大きさ以下になった場合，写真の解像度は画素ピッチで決まるのです。

図8はレンズの分解能と画素ピッチの関係を表しています。(1)ではレンズが分離した2つの点, AとBが別々のピクセルに写っています。この時，もちろん写真の上でAとBは分離して写ります。一方 (2) では，レンズはAとBを分離しているのですが，その間隔が画素ピッチよりも小さいために，写真の上では分離されません。

具体的に考えてみよう

もう少し具体的に考えてみましょう。例として僕が使っている α6400 に 35 mm F1.8 のレンズを付けたケースを取り上げます。

このレンズの画角は対角線で44.8°, つまり横37.8°, 縦25.8° です。またα6400のセンサーは2400万画素（横6000ピクセル，縦4000ピクセル）です。

したがって，画素ピッチを角度単位で表すと，

　 $37.8° \div 6000 = 0.0063° \\ 0.0063 \times 3600 = 22.7"$

より，22.7" となります。

一方，このレンズを絞り開放で用いた時の有効口径Dは

　 $D= \dfrac {35}{1.8} = 19.4$

から 19.4 mm です。

この時のレンズ分解能を，ドーズの限界の式で計算すると，

　 $\theta = 115.8 \div 19.4 =6.0$

より 6.0" となります。これは画素ピッチよりもかなり小さな値です。

つまりこのレンズを開放で用いた場合，（レンズの成型が完璧なら）光学的には6.0"の分解能を得られるけど，画素ピッチがそれよりも広いので実際の解像度は画素ピッチで決まり，22.7" になるということですね。

それでは光学的な解像度が画素ピッチと一致するような有効口径ってどれくらいでしょう？これはドーズの式を用いてすぐに計算することができます。

画素ピッチが22.7" の時，

　 $22.7 = \dfrac{115.8}{D} \\D = \dfrac{115.8}{22.7} = 5.10 \,\left(\mathrm {mm} \right)$

つまり有効口径が 5.10 mm になるまで絞っても，実際の写真の上で解像度の低下は見られないということです。

この時の絞り値Aは

　 $A = \dfrac {35} {5.10} = \color{red}{6.86}$

となります。

実際のレンズでは…

さてここでもう一つの問題があります。これまでことあるごとに「レンズの成型が完璧であれば」ということわりを入れてきました。けれども実際には完璧なレンズというものは存在しません。レンズの中央部を通った光と周辺部を通った光は，同じ一点に焦点を結ばないことが多いのです（収差，図9）。各メーカーでは非球面レンズなどを用いて，この収差の補正を行なっていますが，それでも完璧にはなりません。

すでに述べたように，レンズを開放で使った時，最終的な解像度は画素ピッチで決まります。そして F6.86 あたりまでは，絞っても解像度に光学的なマイナスは（理論上）ないのでしたね。だから実際にはレンズをある程度絞ってレンズ中央部だけを使った方が，光がより一点に焦点を結ぶことになり，シャープな像が得られることが多いのです。「レンズを F5.6〜F8 程度に絞ると最も解像が良くなる」と言われるのはこのような理由によるものです。

それではさらに絞り込んで，F11やF16などにした場合はどうなるでしょう？この場合はレンズの有効口径が小さくなり，解像度がレンズ側で（つまり「ドーズの限界」の式で）決まるようになります。

例えばF16まで絞った場合，焦点距離が35 mmのレンズなら，有効口径は 35/16 = 2.19 mmです。するとその分解能は，ドーズの式から

　 $\theta = \dfrac {115.8}{2.19} = 52.9"$

となり，画素ピッチの間隔 22" よりも大幅に悪い解像度となります。これが「小絞りボケ」です。

繰り返しになりますが，この現象は有効口径が小さくなった結果，レンズの縁で回折される光の割合が，レンズで集光される光に対して大きくなることで起こります。だから絞り込むことによる解像度の低下を「回折ボケ」などと呼ぶこともあります。

レンズを変えるとどうなる？

面白いことに，絞りと解像度の関係はレンズの焦点距離を変えてもほぼ同じです（「ほぼ」というのは，焦点距離と画角は完全に反比例の関係にはないからです）。

例えばα6400（APS-C, 6000 x 4000ピクセル）の場合，広角16 mm と望遠 200 mm レンズの画角は，それぞれ 84.1°（横73.7°, 縦53.1°）および 8.25°（横6.87°，縦4.58°）です。したがって画角で表した画素ピッチは，

　 $3600 \times \dfrac {73.7}{6000} = 44.2" \\ 3600 \times \dfrac{6.87}{6000} = 4.12"$

より，それぞれ 44.2" および 4.12" です。

レンズの光学的分解能がこれと一致する絞り値は，ドーズの式を用いて

16 mm レンズの場合　 $\dfrac {16}{115.8 / 44.2} = \color{red} {6.11}$

200 mm レンズの場合　 $\dfrac {200}{115.8 / 4.12} = \color{red} {7.12}$

となります。したがってこれらのレンズでも，F5.6〜F8 程度に絞った時が最も解像度の良い写真が得られ，それ以上絞ると光学的な理由で解像度が低下していくことになります。

センサーを変えるとどうなる？

それではセンサーサイズを変えるとどうなるでしょう？例えばフルサイズセンサーを考えてみましょう。まず先の例と同じ2400万画素（6000 X 4000 ピクセル）のセンサーを例に考えます。α7iii などですね。

例えばフルサイズのカメラに焦点距離が 50 mm のレンズをつけた場合，画角は46.8°（横 39.6°, 縦 27.0°）です。角度で表した画素ピッチは

　 $3600 \times \dfrac {39.6} {6000} = 23.8"$

これと同じ解像度を与える絞り値Aは

　 $A = \dfrac {50} {115.8 / 23.8} = \color {red} {10.3}$

ということで，APS-Cよりも一段程度（F8〜F11くらいまで）絞り込んでも解像度がキープできる可能性が高いです。

それでは高画素機の場合はどうでしょう？α7Riii（約4200万画素, 7952 x 5304 ピクセル）や α7Riv（約6100万画素，9504 x 6336 ピクセル）について考えてみましょう。

これらのカメラに 50 mm レンズをつけた場合，画角（横 39.6°, 縦 27.0°）と画素数から，角度単位の画素ピッチは

　α7Riii : $3600 \times \dfrac {39.6}{7952} = 17.9"$

　α7Riv : $3600 \times \dfrac {39.6}{9504} = 15.0"$

です。光学的な分解能がこれらと等しくなる絞り値Aは，やはりドーズの式を使って

　α7Riii : $A = \dfrac {50} {115.8 / 17.9} = \color {red} {7.73}$

　α7Riv : $A = \dfrac {50} {115.8 / 15.0} = \color {red} {6.48}$

となります。

つまり高画素機のセンサー解像度を最大限に生かすには，絞りをF5.6〜F8程度にとどめておくのが良いということになります。…まあ，よく言われていることなので結論に新鮮味はありませんね (^ ^;)

もしすごい高画素のカメラが発売されたら？

今後さらに高画素のセンサーを積んだカメラが発売された場合，さらに絞りを開けた方が解像度が高くなる可能性が高くなります。例えば極端な例として，フルサイズで1.5億画素 (15000 x 10000 ピクセル) のカメラが開発されたとしましょう（仮にですよ）。このカメラに 50 mm のレンズ（画角は横 39.6°, 縦 27.0°）をつけた場合，角度単位の画素ピッチは

　 $3600 \times \dfrac {39.6}{15000} = 9.50"$

です。光学的分解能がこれと一致する絞りAは，ドーズの式を使って

　 $A = \dfrac {50}{115.8 / 9.50} = \color {red} {4.10}$

したがって解像度を求めるのなら，絞るのは F4 あたりまでにとどめておいた方がよいということになります（…というか，理想的に成型された 50 mm F4 = 有効口径 12.5 mm の解像度を受け止めるには，これだけの高画素センサーが必要という言い方のほうが正確かもしれません）。被写界深度が欲しい時でも，絞り込むとセンサーが持つ精細さが犠牲になるとも言えます。

またこういう高解像度を実現するためには，より周辺近くまで収差の少ない，正確に研磨されたレンズが必要になっていきます。

再び天体望遠鏡の話

ここで再び天体望遠鏡の話に戻ります。望遠鏡のレンズももちろん完璧に成型されているわけではありません。それでは天体望遠鏡も絞った方が良いのでしょうか？

天体観測を眼視で行う場合を考えましょう。この時，カメラの画素ピッチに相当するのは，網膜上の視神経の間隔です。網膜の上に，視神経ってどれくらいびっしり張り巡らされているのでしょう？

ちゃんとしたデータを持っていないのですが，視神経の間隔は，カメラのセンサーよりは粗いような気がします。それでは望遠鏡の分解能って無駄なのでしょうか？

これは，おそらく望遠鏡を覗くときに私たちは無意識に視線を細かく動かしているので，望遠鏡の細かい分解能を「スキャン」して認識しているのではないかと思います。だから最終的な分解能は視神経の間隔ではなくレンズの口径で決まり，望遠鏡を絞るのは得策ではないと思われます。

また散光星雲や遠くの系外銀河などを観測する場合，（眼視でも写真でも）最も大切なのは集光力です。宇宙の果てからやってくる淡い光をどれだけ集めることができるかが最も大切なのです。この目的で望遠鏡を大口径にすることには大きな意味があり，望遠鏡を絞って使うことはほぼないのですね（天体写真でも，天の川や散光星雲の淡いところを写すときは集光力が大切になるので，絞りを開放付近で使うことが多いかと思います）。

なお，屈折型望遠鏡と反射型望遠鏡を比べると，同じ有効口径なら反射型の方が分解能が悪くなります。これは反射型望遠鏡の場合，主鏡で集めた光を鏡筒の外へ導き出すために，主鏡の前に副鏡など，光の障害物になるものを置く必要があるからです。主鏡の縁に加えて，副鏡の縁でも回折が起こってしまうために分解能が低下するわけです（カメラの反射レンズでも同じことが起こります）。

まとめ

長々と書いてきましたが，以上をまとめるとこんな感じになります。

天体望遠鏡の分解能は，対物レンズの口径が大きいほどよくなる
これはレンズで集光される光の割合が，レンズの縁で回折を受ける光に対して大きくなるからである
分解能は「ドーズの限界」という式で計算できる
カメラのレンズの分解能も同じくドーズの式で計算できる
ただし，絞りが開放の時，分解能はセンサーの画素ピッチよりも細かいので，実際の解像度は画素ピッチで決まる
レンズの分解能 ≒ 画素ピッチとなるところまで絞っても，理論的には解像度の低下は起こらない。実際には，レンズ中心部のみを光が通過するので収差の影響が少なくなり，解像度が良くなる
これを超えて絞りこむと，回折の影響でレンズの分解能が画素ピッチよりも荒くなり，解像度が悪くなる
天体望遠鏡では集光力が大切なので絞って使うことは（ほぼ）ない